Уравнения равновесия плоской и пространственной систем сил. Равновесие произвольной пространственной системы сил – решение задачи Условия равновесия произвольной пространственных сил

Рассмотрены методы решения задач на равновесие с произвольной пространственной системой сил. Приводится пример решения задачи на равновесие плиты, поддерживаемой стержнями в трехмерном пространстве. Показано, как за счет выбора осей при составлении уравнений равновесия, можно упростить решение задачи.

Содержание

Порядок решения задач на равновесие с произвольной пространственной системой сил

Чтобы решить задачу на равновесие твердого тела с произвольной пространственной системой сил, надо выбрать прямоугольную систему координат и, относительно нее, составить уравнения равновесия.

Уравнения равновесия, для произвольной системы сил, распределенных в трехмерном пространстве, представляют собой два векторных уравнения:
векторная сумма сил, действующих на тело, равна нулю
(1) ;
векторная сумма моментов сил, относительно начала координат, равна нулю
(2) .

Пусть Oxyz - выбранная нами система координат. Спроектировав уравнения (1) и (2) на оси этой системы, получим шесть уравнений:
суммы проекций сил на оси xyz равны нулю
(1.x) ;
(1.y) ;
(1.z) ;
суммы моментов сил относительно осей координат равны нулю
(2.x) ;
(2.y) ;
(2.z) .
Здесь мы считаем, что на тело действуют n сил, включая силы реакций опор.

Пусть произвольная сила , с компонентами , приложена к телу в точке . Тогда моменты этой силы относительно осей координат определяются по формулам:
(3.x) ;
(3.y) ;
(3.z) .

Таким образом, порядок решения задачи, на равновесие с произвольной пространственной системой сил, следующий.

1. Отбрасываем опоры и заменяем их силами реакций. Если опорой является стержень или нить, то сила реакции направлена вдоль стержня или нити.
2. Выбираем прямоугольную систему координат Oxyz .
3. Находим проекции векторов сил на оси координат, , и точек их приложения, . Точку приложения силы можно перемещать вдоль прямой, проведенной через вектор силы. От такого перемещения значения моментов не изменятся. Поэтому выбираем наиболее удобные для расчета точки приложения сил.
4. Составляем три уравнения равновесия для сил (1.x,y,z).
5. Для каждой силы, по формулам (3.x,y,z), находим проекции моментов силы на оси координат.
6. Составляем три уравнения равновесия для моментов сил (2.x,y,z).
7. Если число переменных больше числа уравнений, то задача статически неопределима. Методами статики ее решить нельзя. Нужно использовать методы сопротивления материалов.
8. Решаем полученные уравнения.

Упрощение расчетов

В некоторых случаях удается упростить вычисления, если вместо уравнения (2) использовать эквивалентное условие равновесия.
Сумма моментов сил относительно произвольной оси AA′ равна нулю :
(4) .

То есть можно выбрать несколько дополнительных осей, не совпадающих с осями координат. И относительно этих осей составить уравнения (4).

Пример решения задачи на равновесие произвольной пространственной системы сил

Равновесие плиты, в трехмерном пространстве, поддерживается системой стержней.

Найти реакции стержней, поддерживающих тонкую однородную горизонтальную плиту в трехмерном пространстве. Система крепления стержней показана на рисунке. На плиту действуют: сила тяжести G; и сила P, приложенная в точке A, направленная вдоль стороны AB.

Дано:
G = 28 kН ; P = 35 kН ; a = 7,5 м ; b = 6,0 м ; c = 3,5 м .

Решение задачи

Сначала мы решим эту задачу стандартным способом, применимым для произвольной пространственной системы сил. А затем получим более простое решение, основываясь на конкретной геометрии системы, за счет выбора осей при составлении уравнений равновесия.

Решение задачи стандартным способом

Этот метод хоть и приведет нас к довольно громоздким вычислениям, но он применим для произвольной пространственной системы сил, и может применяться в расчетах на ЭВМ.

Отбросим связи и заменим их силами реакций. Связями здесь являются стержни 1-6. Вводим вместо них силы , направленные вдоль стержней. Направления сил выбираем наугад. Если мы не угадаем с направлением какой-либо силы, то получим для нее отрицательное значение.

Проводим систему координат Oxyz с началом в точке O .

Находим проекции сил на оси координат.

Для силы имеем:
.
Здесь α 1 - угол между LQ и BQ . Из прямоугольного треугольника LQB :
м ;
;
.

Силы , и параллельны оси z . Их компоненты:
;
;
.

Для силы находим:
.
Здесь α 3 - угол между QT и DT . Из прямоугольного треугольника QTD :
м ;
;
.

Для силы :
.
Здесь α 5 - угол между LO и LA . Из прямоугольного треугольника LOA :
м ;
;
.

Сила направлена по диагонали прямоугольного параллелепипеда. Она имеет следующие проекции на оси координат:
.
Здесь - направляющие косинусы диагонали AQ :
м ;
;
;
.

Выбираем точки приложения сил. Воспользуемся тем, что их можно перемещать вдоль линий, проведенных через векторы сил. Так, в качестве точки приложения силы можно взять любую точку на прямой TD . Возьмем точку T , поскольку для нее x и z - координаты равны нулю:
.
Аналогичным способом выбираем точки приложения остальных сил.

В результате получаем следующие значения компонентов сил и точек их приложений:
; (точка B );
; (точка Q );
; (точка T );
; (точка O );
; (точка A );
; (точка A );
; (точка A );
; (точка K ).

Составляем уравнения равновесия для сил. Суммы проекций сил на оси координат равны нулю.

;

;

.

Находим проекции моментов сил на оси координат.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;

Составляем уравнения равновесия для моментов сил. Суммы моментов сил относительно осей координат равны нулю.


;


;


;

Итак, мы получили следующую систему уравнений:
(П1) ;
(П2) ;
(П3) ;
(П4) ;
(П5) ;
(П6) .

В этой системе шесть уравнений и шесть неизвестных. Далее сюда можно подставить численные значения и получить решение системы, используя математическую программу вычисления системы линейных уравнений.

Но, для этой задачи, можно получить решение без использования средств вычислительной техники.

Эффективный способ решения задачи

Мы воспользуемся тем, что уравнения равновесия можно составлять не единственным способом. Можно произвольным образом выбирать систему координат и оси, относительно которых вычисляются моменты. Иногда, за счет выбора осей, можно получить уравнения, которые решаются более просто.

Воспользуемся тем, что, в равновесии, сумма моментов сил относительно любой оси равна нулю . Возьмем ось AD . Сумма моментов сил относительно этой оси равна нулю:
(П7) .
Далее заметим, что все силы, кроме пересекают эту ось. Поэтому их моменты равны нулю. Не пересекает ось AD только одна сила . Она также не параллельна этой оси. Поэтому, чтобы выполнялось уравнение (П7), сила N 1 должна равняться нулю:
N 1 = 0 .

Теперь возьмем ось AQ . Сумма моментов сил относительно нее равна нулю:
(П8) .
Эту ось пересекают все силы, кроме . Поскольку сила не параллельна этой оси, то для выполнения уравнения (П8) необходимо, чтобы
N 3 = 0 .

Теперь возьмем ось AB . Сумма моментов сил относительно нее равна нулю:
(П9) .
Эту ось пересекают все силы, кроме , и . Но N 3 = 0 . Поэтому
.
Момент от силы относительно оси равен произведению плеча силы на величину проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси. Плечо равно минимальному расстоянию между осью и прямой, проведенной через вектор силы. Если закручивание происходит в положительном направлении, то момент положителен. Если в отрицательном - то отрицательный. Тогда
.
Отсюда
kН .

Остальные силы найдем из уравнений (П1), (П2) и (П3). Из уравнения (П2):
N 6 = 0 .
Из уравнений (П1) и (П3):
kН ;
kН

Таким образом, решая задачу вторым способом, мы использовали следующие уравнения равновесия:
;
;
;
;
;
.
В результате мы избежали громоздких расчетов, связанных с вычислениями моментов сил относительно осей координат и получили линейную систему уравнений с диагональной матрицей коэффициентов, которая сразу разрешилась.

N 1 = 0 ; N 2 = 14,0 kН ; N 3 = 0 ; N 4 = -2,3 kН ; N 5 = 38,6 kН ; N 6 = 0 ;

Знак минус указывает на то, что сила N 4 направлена в сторону, противоположную той, которая указана на рисунке.

Если система сил находится в равновесии, то ее главный вектор и главный момент равны нулю:

Эти векторные равенства приводят к следующим шести скалярным равенствам:

которые называются условиями равновесия пространственной произвольной системы сил.

Первые три условия выражают равенство нулю главного вектора, следующие три - равенство нулю главного момента системы сил.

В этих условиях равновесия должны учитываться все действующие силы - как активные (задаваемые), так и реакции связей. Последние заранее неизвестны, и условия равновесия становятся уравнениями для определения этих неизвестных - уравнениями равновесия.

Поскольку максимальное число уравнений равно шести, то в задаче на равновесие тела под действием произвольной пространственной систе-мы сил можно определить шесть неизвестных реакций. При большем количестве неизвестных задача становится статически неопределенной.

И еще одно замечание. Если главный вектор и главный момент относительно некоторого центра О равны нулю, то они будут равны нулю относительно любого другого центра. Это прямо следует из материала о перемене центра приведения (доказать самостоятельно). Следовательно, если условия равновесия тела выполняются в одной системе координат, то они будут выполняться и в любой другой неподвижной системе координат. Иными словами, выбор координатных осей при составлении уравнений равновесия совершенно произволен.

Прямоугольная плита (рис. 51, а) весом удерживается в горизонтальном положении сферическим шарниром О, подшипником А и тросом BE, причем точки находятся на одной вертикали. В точке D к плите приложена сила , перпендикулярная стороне OD и наклоненная к плоскости плиты под углом 45°. Определить натяжение троса и реакции опор в точках Он А, если и .

Для решения задачи рассматриваем равновесие плиты. К активным силам Р, G добавляем реакции связей - составляющие реакции сферического шарнира, реакции , подшипника, реакцию троса. Одновременно вводим координатные оси Oxyz (рис. 51, б). Видно, что полученная совокупность сил образует произвольную пространственную систему, в которой силы неизвестны.

Для определения неизвестных составляем уравнения равновесия.

Начинаем с уравнения проекций сил на ось :

Поясним определение проекции вычисление осуществляется в два приема- вначале определяется проекция силы Т на плоскость , далее, проектируя на осъ х (удобнее на ось , параллельную ), находим (см. рис. 51,б):

Этим способом двойного проектирования удобно пользоваться, когда линия действия силы и ось не пересекаются. Далее составляем:

Уравнение моментов сил относительно оси имеет вид:

Моменты сил в уравнении отсутствуют, так как эти силы либо пересекают ось х(), либо ей параллельны . В обоих этих случаях момент силы относительно оси равен нулю (см. с. 41).

Вычисление момента силы часто облегчается, если силу разложить подходящим образом на составляющие и воспользоваться теоремой Вариньона. В данном случае это удобно сделать для силы . Разлагая ее на горизонтальную и вертикальную составляющие, можем написать.

ВЕРНУТЬСЯ Сложное движение точки (тела) – такое движение, при котором точка (тело) одновременно участвует в нескольких движениях (напр. пассажир, перемещающийся по движущемуся вагону). В этом случае вводится подвижная система координат (Oxyz), которая совершает заданное движение относительно неподвижной (основной) системы координат (O 1 x 1 y 1 z 1). Абсолютным движением точки назыв. движение по отношению к неподвижной системе координат. Относительное движение – движение по отношению к подвижной системе коорд. (движение по вагону). Переносное движение – движение подвижной сист. координат относительно неподвижной (движение вагона). Теорема о сложении скоростей : , ; -орты (единичные вектора) подвижной системы координат, орт вращается вокруг мгновенной оси, поэтому скорость его конца и т.д., Þ: , ; – относительная скорость. ; переносная скорость: , поэтому абсолютная скорость точки = геометрической сумме ее переносной (v e) и относительной (v r) скоростей , модуль: . :
и т.д. Слагаемые выражения, определяющего ускорения : 1) – ускорение полюса О; 2) 3) – относительное ускорение точки; 4) , получаем: . Первые три слагаемых представляют собой ускорение точки в переносном движении: – ускорение полюса О; – вращательное уск., – осестремительное уск., т.е. . Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса) : , где – ускорение Кориолиса (кориолисово ускорение) – в случае непоступательного переносного движения абсолютное ускорение = геометрической сумме переносного, относительного и кориолисова ускорений. Кориолисово ускорение характеризует: 1) изменение модуля и направления переносной скорости точки из-за ее относительного движения; 2) изменение направления относительной скорости точки из-за вращательного переносного движения. Модуль ускорения Кориолиса: а с = 2×|w e ×v r |×sin(w e ^ v r), направление вектора определяется по правилу векторного произведения, или по правилу Жуковского: проекцию относительной скорости на плоскость, перпендикулярную переносной угловой скорости, надо повернуть на 90 о в направлении вращения. Кориолисово уск. = 0 в трех случаях: 1) w e =0, т.е. в случае поступательного переносного движения или в момент обращения угл. скорости в 0; 2) v r =0; 3) sin(w e ^ v r)=0, т.е. Ð(w e ^ v r)=0, когда относительная скорость v r параллельна оси переносного вращения. В случае движения в одной плоскости – угол между v r и вектором w e = 90 о, sin90 o =1, а с =2×w e ×v r . Сложное движение твердого тела При сложении двух поступательных движений результирующее движение также является поступательным и скорость результирующего движения равна сумме скоростей составляющих движений. Сложение вращений тв. тела вокруг пересекающихся осей. Ось вращения, положение которой в пространстве изменяется со временем назыв. мгновенной осью вращения тела . Вектор угловой скорости – скользящий вектор, направленный вдоль мгновенной оси вращения. Абсолютная угловая скорость тела = геометрической сумме скоростей составляющих вращений – правило параллелограмма угловых скоростей. . Если тело участвует одновременно в мгновенных вращениях вокруг нескольких осей, пересекающихся в одной точке, то . При сферическом движении твердого тела, одна из точек которого во все время движения остается неподвижной, имеем уравнения сферического движения: Y=f 1 (t); q=f 2 (t); j=f 3 (t). Y – угол прецессии, q – угол нутации, j – угол собственного вращения - углы Эйлера. Угловая скорость прецессии , угл. скорость нутации , угл. ск. собственного вращения . , – модуль угловой скорости тела вокруг мгновенной оси. Через проекции на неподвижные оси координат: – кинематические уравнения Эйлера. Сложение вращений вокруг 2-х параллельных осей . 1) Вращения направлены в одну сторону. w=w 2 +w 1 , С – мгновенный центр скоростей и через нее проходит мгновенная ось вращения, , . 2) Вращения направлены в разные стороны. , w=w 2 -w 1 С – мгн. центр ск. и мгн. ось вращения, . Векторы угловых скоростей при вращении вокруг ||-ых осей складываются так же, как векторы параллельных сил. 3) Пара вращений – вращения вокруг ||-ных осей направлены в разные стороны и угловые скорости по модулю равны ( – пара угловых скоростей). В этом случае v A =v B , результирующее движение тела – поступательное (или мгновенное поступательное) движение со скоростью v=w 1 ×AB – момент пары угловых скоростей (поступательное движение педали велосипеда относит-но рамы). Мгн. центр скоростей находится в бесконечности. Сложение поступательного и вращательного движений . 1) Скорость поступательного движения ^ к оси вращения – плоскопараллельное движение – мгновенное вращение вокруг оси Рр с угловой скоростью w=w". 2) Винтовое движение – движение тела слагается из вращательного движения вокруг оси Аа с угл.ск. w и поступательного со скоростью v||Аа. Ось Аа – ось винта. Если v и w в одну сторону, то винт – правый, если в разные – левый. Расстояние, проходимое за время одного оборота любой точкой тела, лежащей на оси винта, наз. шагом винта – h. Если v и w постоянны, то h= =const, при постоянном шаге любая (×)М, не лежащая на оси винта описывает винтовую линию. направлена по касательной к винтовой линии. 3) Скорость поступательного движения образует произвольный угол с осью вращения, в этом случае движение можно рассматривать как слагающееся из серии мгновенных винтовых движений, вокруг непрерывно изменяющихся винтовых осей – мгновенно–винтовое движение.

Выше (6.5, случай 6) было установлено, что

Учитывая, что , , спроектируем формулы (6.18) на Декартовы оси координат. Имеем аналитическую форму уравнений равновесия произвольной пространственной системы сил :

(6.19)

Последние три уравнения имеют место из-за того, что проекция момента силы относительно точки на ось, которая проходит через эту точку, равна моменту силы относительно оси (формула (6.9)).

Вывод произвольной пространственной системы сил , которая приложена к твердому телу, мы должны составить шесть уравнений равновесия (6.19), потому имеем возможность с помощью этих уравнений определить шесть неизвестных величин .

Рассмотрим случай пространственной системы параллельных сил. Систему координат выберем так, чтобы ось Оz была параллельна линиям действия сил (рис. 6.11).

Таким образом, остались три уравнения:

Вывод . При решении задач на равновесие параллельной пространственной системы сил, которая приложена к твердому телу, мы должны составить три уравнения равновесия и имеем возможность с помощью этих уравнений определить три неизвестных величины .

На первой лекции по разделу «Статика» мы выяснили, что имеют место шесть разновидностей систем сил , которые могут встретиться в Вашей практике инженерных расчетов. Кроме того есть две возможности расположения пар сил: в пространстве и в плоскости. Сведем все уравнения равновесия для сил и для пар сил в одну таблицу (табл. 6.2), в которой в последней колонке отметим количество неизвестных величин, которые позволит определить система уравнений равновесия.

Таблица 6.2 – Уравнения равновесия разных систем сил

	Вид системы сил	Уравнения равновесия	Количество определяемых неизвестных
	Сходящаяся плоская
	Параллельная плоская ( оси 0у )	т. А 0ху
	Произвольная плоская (в плоскости 0ху)	т. А – произвольная, принадлежащая плоскости 0ху

Продолжение таблицы 6.2

Продолжение таблицы 6.2

Вопросы для самоконтроля по теме 6

1. Как найти момент силы относительно оси?

2. Какая зависимость существует между моментом силы относительно точки и моментом этой же силы относительно оси, которая проходит через эту точку?

3. В каких случаях момент силы относительно оси равен нулю? А когда он наибольший?

4. В каких случаях система сил приводится к равнодействующей?

5. В каком случае пространственная система сил приводится:

– к паре сил;

– к динамическому винту?

6. Что называется инвариантом статики? Какие Вы знаете инварианты статики?

7. Запишите уравнения равновесия произвольной пространственной системы сил.

8. Сформулируйте необходимое и достаточное условие равновесия параллельной пространственной системы сил.

9. Изменится ли главный вектор системы сил при изменении центра приведения? А главный момент?

Тема 7. ФЕРМЫ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ

Произвольной пространственной системой сил называется система сил, линии действия которых не лежат в одной плоскости.

Отсюда вытекает условие равновесия произвольной пространственной системы сил .

В геометрической форме: для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент системы равнялись нулю

R = 0, M o = 0 .

В аналитической форме: для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на три координатные оси и суммы моментов всех сил относительно этих осей были равны нулю

ΣF kx = 0 , ΣF ky = 0 , ΣF kz = 0 ,

M x (F k) = 0 , M y (F k) = 0 , M z (F k) = 0 .

Центр тяжести. Способы определение центра тяжести. Координаты центра тяжести плоского тела и составленных сечений.

Центр тяжести

Центр тяжести тела - точка приложения силы тяжести (равнодействующей гравитационных сил).

Центр тяжести делит расстояние между двумя грузами в отношении, обратном отношению их масс.

Определение центра тяжести

Определение центра тяжести произвольного тела путем последовательного сложения сил, действующих на отдельные его части,- трудная задача; она облегчается только для тел сравнительно простой формы.

Пусть тело состоит только из двух грузов с массами m 1 и m 2 , соединенных стержнем (рис. 126). Если масса стержня мала по сравнению с массами m 1 и m 2 , то ею можно пренебречь. На каждую из масс действует сила тяжести:

P 1 =m 1 g, Р 2 =m 2 g;

обе они направлены вертикально вниз, т. е. параллельно друг другу. Как мы уже знаем, равнодействующая двух параллельных сил приложена в точке О, которая определяется из условия

Следовательно, центр тяжести делит расстояние между двумя массами в отношении обратном отношению масс. Если это тело подвесить в точке О, оно останется в равновесии.

Определение координат центра тяжести

Способы определения координат центра тяжести Исходя из полученных ранее общих формул, можно указать способы определения координат центров тяжести твердых тел: 1 Аналитический (путем интегрирования). 2 Метод симметрии. Если тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии. 3 Экспериментальный (метод подвешивания тела). 4 Разбиение. Тело разбивается на конечное число частей, для каждой из которых положение центра тяжести C и площадь S известны. Например, проекцию тела на плоскость xOy (рисунок 1.8) можно представить в виде двух плоских фигур с площадями S 1 и S 2 (S = S 1 + S 2 ). Центры тяжести этих фигур находятся в точках C 1 (x 1 , y 1) и C 2 (x 2 , y 2) . Тогда координаты центра тяжести тела равны Рисунок 1.8 5Дополнение (метод отрицательных площадей или объемов). Частный случай способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Например, необходимо найти координаты центра тяжести плоской фигуры (рисунок 1.9): Рисунок 1.9

Центр тяжести однородных плоских тел

(плоских фигур)

Очень часто приходится определять центр тяжести различных плоских тел и геометрических плоских фигур сложной формы. Для плоских тел можно записать: V = Ah, где А - площадь фигуры, h - ее высота.

Тогда после подстановки в записанные выше формулы получим:

; ; ,

где Ак - площадь части сечения; хк, ук - координаты ЦТ частей сечения.

Выражение называют статическим моментом площади (Sy.).

Координаты центра тяжести сечения можно выразить через статический момент:

Оси, проходящие через центр тяжести, называются центральными осями. Статический момент относительно центральной оси равен нулю.

Определение координат центра тяжести плоских фигур

Примечание. Центр тяжести симметричной фигуры находится на оси симметрии.

Центр тяжести стержня находится на середине высоты. Положения центров тяжести простых геометрических фигур могут быть рассчитаны по известным формулам (рис. 8.3: а) - круг; б) - квадрат, прямоугольник; в) - треугольник; г) - полукруг).