Понятие функции. Отображение множеств. Отображения множеств Общее определение функции как отображения множеств

20.08.2023

Пусть $X$ и $Y$ - два произвольных множества.

Определение. Соответствие, при котором каждому из элементов множества $X$ сопоставялется единственный элемент из множества $Y$, называется отображением .

Обозначение отображения из множества $X$ в множество $Y$: $X \stackrel{f}{\longrightarrow} Y$.

Множество $X$ называется областью определения отображения и обозначается $X=D(f)$.

$E(f)$ называется множеством значений отображения, и $E(f) = \{ y \in Y \; | \; \exists x \in X, y = f(x) \}$.

Множество $\Gamma(f)$ называется графиком отображения. $\Gamma(f)=\{(x,y) \in X \times Y, y=f(x), \forall x \in X, y \in Y \}$.

Пусть $f$ - некоторое отображение из множества $X$ в множество $Y$. Если $x$ при этом отображении сопоставляется $y$, то $y=f(x)$. При этом $y$ называется образом $x$, или значением отображения $f$ в точке $x$. А $x$, соответственно, прообразом элемента $y$.

Исходя из определения отображения, видно, что не требуется, чтобы все элементы в множестве $Y$ являлись образами какого-либо $x$ и при том единственного.

Пример.

Даны два множества $X=\{ с, е, н, т, я, б, р, ь \}$ и $Y=\{ 1, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11 \}$

Отображение из множества $X$ в множество $Y$ имеет следующий вид:

$\begin{matrix} \{ с, & е, & н, & т, & я, & б, & р, & ь \} \\ \;\; \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow & \updownarrow \;\; \\ \{ 1, & 2, & 3, & 4, & 5, & 9, & 10, & 11 \} \end{matrix}$

Определение. Совокупность всех элементов из множества $X$, образом которых является $y$ из $Y$, назвается полным прообразом $y$ из $X$. Обозначается: $f^{-1}(y)$.

Определение. Пусть $A \subset X$. Совокупность всех элементов $f(a)$, $a \in A$, называется полным образом множества $A$ при отображении $f$.

Определение. Пусть $B \subset Y$. Множество всех элементов из $X$, образы которых принадлежат множеству $B$, называется полным прообразом множества $B$.

Пример.

$X=Y=R$, $y=x^2$.

$A=[-1; 1] \subset X$

Полный образ $f(A)=$

$B= \subset Y$

Полный прообраз $f^{-1}(B)=[-1; 1]$

Определение. Отображение $f$ называется инъективным отображением, если $\forall \; y \in Y$ $y=f(x)$ является образом единственного $x$.

Определение. Отображение $f$ называется сюръективным отображением, если все элементы в множестве $Y$ являются образами какого-либо $x$. (Это отображение множества $X$ на множество $Y$).

Определение. Отображение $f$ называется биективным , если оно инъективно и сюръективно, в противном случае такое отображение назвается взаимно однозначным соответствием.

Определение. Множества $X$ и $Y$ называются эквивалентными (равномощными), если они находятся во взаимно однозначном соответствии. Обозначается: $X Y$ (множество $X$ эквивалентно множеству $Y$ или множество $X$ равномощно множеству $Y$).

1. Граф соответствия. Отображение. Инъективное, не сюръективное.

Отображение - одно из основных понятий математики. Отображение есть какое-либо правило или закон соответствия множеств. Пусть и - произвольные непустые множества. Говорят, что задано отображение множества на множество (запись: или) если каждому элементу множества (поставлен соответствие единственный, однозначно определенный элемент множества (.

Элемент называется образом элемента при отображении, а элемент называется прообразом элемента при этом отображении. Образом множества элементов при отображении называется множество всех элементов вида, принадлежащих области значений. Множество всех элементов (), образы которых составляют область значений называется прообразом множества элементов (). Множество называется областью определения отображения.

Отображение называется сюръективным , когда каждый элемент множества (имеет хотя бы один прообраз множества (, т.е. , или.

Отображение называется инъективным , когда каждый элемент множества (является образом лишь одного элемента множества (, т.е. образы любых двух различных элементов множества различны, т.е. из следует.

Отображение называется биективным или взаимно однозначным , когда оно одновременно инъективно и сюръективно, т.е. каждый элемент множества является образом одного и только одного элемента множества.

Равенство двух отображений и означает по определению, что их соответствующие области совпадают (и), причем.

Произведение двух отображений и можно определить как отображение, которое каждому элементу множества ставит в соответствие элемент множества.

Отображение множества на множество иначе называется функцией на множестве со значениями во множестве. Если множества и совпадают, то биективное отображение множества на себя называется преобразованием множества. Простейшее преобразование множества - тождественное - определяется так: . Тождественное отображение, переводящее каждый элемент в себя, также называют единичным преобразованием. Если заданы преобразования и, то преобразование, являющееся результатом последовательного выполнения сначала преобразования, а затем и преобразования, называется произведением преобразований и: .

Для преобразований, и одного и того же множества справедливы следующие законы:

Коммутативный закон для произведения преобразований в общем случае не выполняется, т.е. .

Если между двумя множествами можно задать биективное отображение (установить взаимно однозначное соответствие между их элементами), то такие множества называются эквивалентными или равномощными . Конечные множества равномощны только в том случае, когда число их элементов одинаково.

Бесконечные множества также можно сравнивать между собой.

Два множества имеют одинаковую мощность или называются эквивалентными (обозначение), если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, т.е. если можно указать некоторое правило, в соответствии с которым каждому элементу одного из множеств соотносится один и только один элемент другого множества.

Если же подобное отображение невозможно, то множества имеют различную мощность; при этом оказывается, что в последнем случае, каким бы образом мы не пытались привести в соответствие элементы обоих множеств, всегда останутся лишние элементы и притом всегда от одного и того же множества, которому приписывается более высокое значение кардинального числа или говорят, что это множество имеет б?льшую мощность . Бесконечное множество и некоторое его подмножество могут быть эквивалентными. Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счетным множеством. Для того чтобы множество было счетным, необходимо и достаточно, чтобы каждому элементу множества был поставлен в соответствие его порядковый номер. Из всякого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество. Всякое подмножество счетного множества является счетным или конечным. Счетное множество является наиболее примитивно организованным бесконечным множеством. Декартово произведение двух счетных множеств является счетным. Объединение конечного или бесконечного числа конечных или счетных множеств является конечным или счетным множеством.

Изучим теперь некоторые вопросы, связанные с отношениями между множествами.

Будем говорить, что между множествами изаданоотношение (инаходятся в отношении), если некоторым (возможно всем) элементам изсоответствуют некоторые элементы из. Если множествонаходится в отношениис множеством, то будем писать:

Если при этом элементу ставится в соответствие элемент, то обозначать это будем

Определение 1.1.2. Отношение между множествамииназываетсяотображением , если каждому изпоставлен в соответствие один и только один элементиз(см. рис. 1.1.2. и 1.1.3). При специализации природы множествивозникают специальные типы отображений, которые носят особые названия “функция”," вектор-функция", "оператор", "мера", "функционал" и т.д. Мы столкнемся с ними в дальнейшем.

Для обозначения функции (отображения) из вбудем пользоваться записью

Рис.1.1.2. Отображение Рис.1.1.3.Отношение, не являющееся

отображением

Определение 1.1.3 . Если - элемент из, то отвечающий ему элементиз, называется его образом (при отображении), а множество всех тех, для которых, называется прообразоми обозначается(см.рис.1.1.4).

Рис.1.1.4. Прообраз b

Определение 1.1.4. Отображение называетсявзаимно однозначным отображением , если каждый элемент из имеет единственный образ при отображениии каждый элемент изимеет единственный прообраз при этом отображении.

Рис.1.1.5. Взаимно однозначное отображение

Мы в дальнейшем будем рассматривать только отображения, поскольку имеются приемы, сводящие многозначные отображения к однозначным, которые мы называем просто отображениями.

Понятие отображения играет важнейшую роль в математике, в частности в математическом анализе центральное место занимает понятие функции , которой называется отображение одного числового множества в другое.

1.7. Мощность множества

При исследовании отношений между множествами большой интерес представляет "объем" множеств, число элементов в них. Но разговор о числе элементов понятен и обоснован, если это число конечное. Множества, состоящие из конечного числа элементов, будем называть конечными . Однако, многие из множеств, рассматриваемых в математике, не являются конечными, например, множество действительных чисел, множество точек на плоскости, множество непрерывных функций, заданных на некотором отрезке и т.д. Для количественной характеристики бесконечных (да и конечных) множеств в теории множеств используется понятие мощности множества .

Будем говорить, что множества иимеютодинаковую мощность , если существует взаимно однозначное отображение множества на множество(заметим, что в этом случае существует и взаимно однозначное отображение множества B на множество A).

Если множества иимеют одинаковую мощность, то будем говорить, что ониэквивалентны , это обозначается: .

Пусть - произвольные множества, тогда

т.е. любое множество эквивалентно самому себе; если множество эквивалентно множеству, тоэквивалентно; если, наконец, множествоэквивалентно множеству, которое эквивалентно множеству, тоэквивалентно.

Множество, эквивалентное некоторому своему собственному подмножеству, называется бесконечным .

Если конечные множества имеют разное число элементов, то ясно, что одно из них содержит меньше элементов, чем другое. А как сравнить в этом смысле бесконечные множества? Будем говорить, что мощность множества меньше мощности множества, если существует подмножество множества, эквивалентное множеству, но сами множестваине являются эквивалентными.

Мощность конечного множества равна числу его элементов. Для бесконечных множеств понятие "мощность" является обобщением понятия "количество элементов".

Укажем некоторые, полезные для дальнейшего, классы множеств.

Множество называется счетным , если оно имеет такую же мощность как и некоторое подмножество множества (множества натуральных чисел). Счетное множество может быть конечным или бесконечным.

Бесконечное множество является счетным тогда и только тогда, когда оно эквивалентно множеству натуральных чисел .

Заметим, что любое множество, мощность которого меньше мощности бесконечного счетного множества, является конечным.

Множество действительных чисел на отрезке от нуля до единицы имеет мощность континуум , и само часто называется континуумом . Мощность этого множества больше мощности бесконечного счетного множества. Возникает вопрос: имеется ли множество, мощность которого больше мощности бесконечного счетного множества, но меньше мощности континуум. Эта задача была сформулирована в 1900 году одним из крупнейших математиков мира Давидом Гильбертом. Оказалось, что эта задача имеет несколько неожиданный ответ: можно считать, что такое множество существует, а можно считать, что его не существует. Получающиеся при этом математические теории будут непротиворечивыми. Доказательство этого факта было доложено американским ученым Коэном в 1965 году на всемирном конгрессе математиков в Москве. Отметим, что ситуация с этой задачей напоминает ситуацию с пятым постулатом Евклида: через точку, лежащую вне данной прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной. Как показал Лобачевский, отказ от этого постулата не приводит к противоречиям. Мы можем строить геометрию, для которой этот постулат имеет место, и геометрии, для которых он не верен.

В заключение приведем несколько примеров, демонстрирующих методику доказательства эквивалентности множеств.

Пример 1.11. Множество целых чисел счетное.

Понятно, что рассматриваемое множество бесконечное (множество натуральных чисел является его подмножеством).

Для доказательства счетности множества целых чисел надо построить взаимно однозначное отображение между множеством натуральных чисел и рассматриваемым множеством. Требуемое отображение задается правилом: расположим целые числа следующим образом:

и перенумеруем их натуральными числами, присвоив им номера (они указаны рядом с рассматриваемыми целыми числами). Очевидно, что каждое целое число получит свой номер, при этом разные числа получат разные номера. Верно и обратное: для каждого натурального числа (для каждого номера) найдется и при том единственное целое число, стоящее под этим номером. Таким образом, требуемое взаимно однозначное отображение построено.

Пример 1.12 . Множество рациональных чисел счетное.

Известно, что любое рациональное число можно представить в виде несократимой дроби p/q, используя это представление расположим рациональные числа в соответствии со схемой:

. . . . . .

Перенумеруем эти числа примерно так же, как и в предыдущем примере (номера указаны сверху в скобках рядом с числами). Нетрудно убедиться в том, что сформулированное правило нумерации рациональных чисел дает требуемое взаимно однозначное отображение множества натуральных чисел в множество рациональных чисел.

Пример 1.13 . Объединение счетного множества счетных множеств есть множество счетное.

Доказательство этого факта аналогично доказательству утверждения предыдущего примера.

В заключение приведем важное для дальнейшего утверждение. Но для этого нам потребуется еще одна операция над множествами.

Прямым произведением множеств и(декартовым произведением ) называется множество всех упорядоченных пар , гдеи. Это множество обозначается. Таким образом:

Обозначим , произведениесомножителейбудем обозначать.

Теорема 1.1 . для любого бесконечного множестваБолее того.

В частности , т.е. множество точек на прямой имеет такую мощность, что и множество точек на плоскости. Более того, точек в пространстве столько, сколько и на прямой.

На этом мы заканчиваем знакомство с основными понятиями математической логики и теории множеств - основ современной математики. Отметим, что многие аспекты этих теорий остались, к сожалению, за рамками этой главы, познакомиться с ними можно, например, по и .

Элементы теории множеств

Понятие множества

В математике встречаются самые разнообразные множества . Можно говорить о множестве граней многогранника, точек на прямой, множестве натуральных чисел и т.д. Понятие множества относится к числу первоначальных понятий, которые не определяются через другие, более простые. Вместо слова ""множество"" иногда говорят ""совокупность"", ""собрание"" предметов и т.д. Предметы, составляющие данное множество, называются элементами данного множества.

Теория множеств посвящена в основном изучению именно бесконечных множеств . Теория конечных множеств называется иногда комбинаторикой .

Но простейшие свойства множеств, те, о которых мы только и будем здесь говорить, в большинстве случаев в равной мере относятся как к конечным, так и к бесконечным множествам.

Заметим, что в математике допускается к рассмотрению множество, не содержащее элементов – пустое множество. Запись а Î Х означает, что а есть элемент множества Х.

Определение. Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является в то же время элементом множества А.

Каждый отдельный элемент множества А образует подмножество, состоящего из этого одного элемента. Кроме того, пустое множество является подмножеством всякого множества.

Подмножество множества А называется несобственным , если оно совпадает с множеством А.

Если множество В есть подмножество множества А, то говорим, что В содержится в А и обозначаем В Í А. Подмножество В множества А называется собственным подмножеством, если В не пусто и не совпадает с А (т.е. имеется элемент множества А, не содержащийся в В).

Операции над множествами

Пусть А и В – произвольные множества.

Определение. Объединением двух множеств А и В называется множество С = АÈВ, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А и В. (см. рис. 1).

Аналогично определяется объединение любого (конечного или бесконечного) числа множеств: если А i – произвольные множества, то их объединение есть совокупность элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств А i .

Рис.1 Рис.2

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество С = АÇВ, состоящее из всех элементов, принадлежащих как А, так и В (см. рис. 2). Пересечением любого (конечного или бесконечного) числа множеств А i называется множество элементов, принадлежащих каждому из множеств А i .

Операции объединения и пересечения множеств по определению коммутативны и ассоциативны, т.е.

АÈВ = В È А, (А ÈВ) ÈС = А È (В È С),

А Ç В = В Ç А, (А Ç В) Ç С = А Ç (В Ç С).

Кроме того, они взаимно дистрибутивны:

(А È В) Ç С = (А Ç С) È (В Ç С), (1)

(А Ç В) È С = (А È С) Ç (В È С). (2)

Определение. Разностью множеств А и В называется множество тех элементов из А, которые не содержатся в В (рис. 3 ).

Понятие функции. Отображение множеств

Пусть X и Y – два произвольных множества.

Определение. Говорят, что на X определена функция f , принимающая значение из Y, если каждому элементу x Î X поставлен в соответствие один и только один элемент y Î Y. При этом множество X называется областью определения данной функции, а множество Y – её областью значений .

Для множеств произвольной природы вместо термина «функция» часто пользуются термином «отображение», говоря об отображении одного множества в другое.

Если а элемент из X, то соответствующий ему элемент b = f (а ) из Y называется образом а при отображении f . Совокупность всех тех элементов а из X, образом которых является данный элемент b Î Y, называется прообразом (или точнее полным прообразом ) элемента b и обозначается f –1 (b ).

Пусть А – некоторое множество из X; совокупность {f (а ): а Î А} всех элементов вида f (а ), где а Î А, называется образом А и обозначается f (А). В свою очередь для каждого множества В из Y определяется его полный прообраз f –1 (В), а именно: f –1 (В) есть совокупность всех тех элементов из X, образы которых принадлежат В.

Определение. Будем говорить, что f есть отображение множества X на множество Y, если f (X) = Y; такое отображение называют сюръекцией . В общем случае, т.е. когда f (X) Ì Y, говорят, что f есть отображение в Y. Если для любых двух различных элементов х 1 и х 2 из X их образы y 1 = f (x 1) и y 2 = f (x 2) также различны, то f называется инъекцией. Отображение f : X®Y, которое одновременно является сюръекцией и инъекцией, называется взаимно однозначным соответствием междуX и Y.

Введение в теорию множеств и комбинаторику

Практическая работа № 8. Отображения. Виды отображений

Вопросы к работе

Что такое «отображение множества в множество»?
Что такое «образ», что такое «прообраз» при данном отображении?
Что такое полный f - образ, что такое полный f - прообраз, при отображении f ?
Назовите типы отображений, дайте их определения и приведите примеры.
Какие два множества называются эквивалентными? Приведите примеры.
Какое множество называется счетным? Приведите примеры.

Образцы решения заданий

Пример 1. Пусть А = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} N и В ={0; 1} Z Поставим в соответствие каждому числу x A его остаток при делении на 2.

Является ли это соответствие отображением? Какой тип у этого отображения? Какой элемент является образом элемента 6, 7? Найдем полный прообраз элемента 1.

Решение. Изобразим заданное соответствие с помощью графа:

Видим, что:

1) каждый элемент множества А , является точкой исхода;

2) у каждой точки исхода, имеется только по одной точке прибытия. (Значит, указанное соответствие является отображением множества А в множество В);

3) Каждый элемент множества В является точкой прибытия. (Значит, это отображение «на»).

Так как в множестве В есть элемент (например, 0), для которого прообразом является ни один элемент из А , то это отображение не является взаимооднозначным.

Образом числа 6 является число 0 В , образом числа 7 – число 1 В . Полный прообраз числа 1 В есть множество чисел {1; 3; 5; 7; 9} А .

Пример 2. Пусть Х – множество треугольников плоскости, Y = R. Выберем единицу измерения длин и сопоставим каждому треугольнику число – периметр этого треугольника. Будет ли это соответствие отображением? Какой тип у заданного отображения? Каков полный прообраз числа у R ?

Решение. Каждый треугольник на плоскости имеет однозначно определенный периметр. Поэтому каждому треугольнику из множества Х сопоставляется единственное число из R , т. е. это соответствие является отображение Х в R . При этом у двух разных треугольников может быть одинаковый периметр. Другими словами, отображение не является взаимооднозначным. Кроме того, не существует треугольника, периметр которого равен отрицательному числу, т.е. отображение не является отображением «на». Пусть у R . Тогда:

у > 0, полный образ – множество всех треугольников плоскости, периметр которых равняется числу у , это множество бесконечное.
у ≤ 0, полный образ – пустое множество.

Пример 3. Х = {0; 1; 2; 3; 4} N , Y = Z. Отображение f множества Х в множество Y задано следующим образом:

Определим тип этого отображения и построим его график.

Решение. Для каждого x X найдем образ y Y. Соответствующие результаты запишем в таблицу:


y=f(x)	–2

Множество значений отображения f есть множество

A = {–2; 1; 4; 7; 10} Y и В ≠ Y . У каждого элемента y В в Х имеется только по одному прообразу. Мы имеем, следовательно, отображение взаимооднозначное множества Х в множество Y .

Пары значений (x ; у ) из таблицы образует график данного отображения f: Х→Y . В прямоугольной системе координат этот график имеет вид:

Пример 4. Даны два множества слов: Х = {красный; синий; зеленый; желтый} и Y = {галстук; свет; платок; лист}. Эквивалентны ли эти множества?

Решение. Эти множества эквивалентны, т. к. для них можно установить взаимооднозначное отображение "на".

Например:

Пример 5. Даны множества: А = { x | x = 2 n , n N } и

В = { x | x = , n N }. Эквивалентны ли эти множества?

Решение. Эти множества эквивалентны, т. к. можно подобрать взаимооднозначное отображение множества A на множество В .

Например: f: А В

x = 2 n y = .

Упражнения

1. Между множеством имя Х = {Андрей; Борис; Михаил; Алексей; Константин; Василий; Валентина; Клара; Семен; Мария; Софья; Олег; Трофим4 Юрий; Яков} и множеством Y (букв русского алфавита) установлено соответствие, при котором каждому имени сопоставляется его первая буква. Будет ли это соответствие отображением Х в Y ? Если "да", то какого типа? Найдите образ множества Х . Найдите полные прообразы букв А , Б, К, Л. Постройте граф указанного соответствия.

2. Каждой точке М отрезка АВ поставим в соответствие ее проекцию М на данную прямую L . Будет ли это соответствие отображением? Каким? Опишите область определения, область значений этого отображения.

3. Множество Х состоит из всех квадратов на плоскости, а множество Y из всех окружностей на той же плоскости. Поставим в соответствие каждому квадрату вписанную в него окружность. Является ли это соответствие отображением Х на Y ?

4. Можно ли задать отображение следующим образом: множество А из отрезков, на Y – из треугольников; каждому отрезку ставится в соответствие треугольник, для которого этот отрезок является средней линией?

5. Верно ли, что соответствие f: Z Z

X у = –5 х + 2

есть отображение "на"?

6. Пусть Х – множество вещественных чисел. Каждому числу х Х поставим в соответствие его квадрат. Можно ли это соответствие назвать обратимым отображением?

7. Покажите, что следующие множества счетны:

а) множество нечетных натуральных чисел;

б) множество неотрицательных целых чисел;

в) множество квадратов натуральных чисел;

г) множество натуральных чисел, кратных 5;

д) множество кубов натуральных чисел.

8. Даны два множества: A = {Париж; Москва; Варшава; Краков; Лондон; Саранск; Владимир; Марсель} и B = {Франция; Россия; Англия; Польша; Швеция; Австрия}. Зададим соответствие между ними: «город x A находится в стране ». Построим графики этого соответствия. Будет ли это соответствие отображением? Какого типа?

9. Эквивалентны ли множества А изображений населенных пунктов на карте и множество B населенных пунктов местности, изображенной на карте?

Индивидуальное задание

Среди указанных соответствий выбрать отображения. Указать их тип, построить график.

2. Изобразите в прямоугольной декартовой системе координат графики следующих отношений в Z . Для каждого отношения выясните, является ли оно отображением Z в Z , отображением Z на Z , взаимооднозначным отображением, наложением:

1) х + у = 3; 7) у < х + 2;

2) х – у ≤ 5; 8) у ≤ х + 2;

3) х + у = 4, x > 0; 9) у = 4;

4) x = y , – 4 ≤ х ≤ 6; 10) ху = 24, –6 ≤ х ≤ 6.

5) = у , – 4 ≤ х ≤ 6;

6) x > у ;

Задания для самоконтроля

Соедините следующие пары множеств знаком «=», если они равны, и знаком «~», если они эквивалентны:

1) А – множество сторон треугольника,

В - множество углов треугольника;

2) А - множество букв в слове «колос»,

В = {о; к; с; л};