Граничные и начальные условия дифференциального уравнения. Термодинамические основы термоупругости. Смотреть что такое "Начальные и граничные условия" в других словарях

17.09.2021

Начальные условия

Для возможности отсчета изменений температуры в точках тела в ту или другую сторону в последующие моменты времени должно быть задано исходное начальное термическое состояние для его каждой точки. Другими словами, должна быть задана непрерывная или разрывная функция координат Т0 (х, у, z), полностью описывающая температурное состояние во всех точках тела в начальный момент времени t = 0, и искомая функция Т (х, у, z, t), являющаяся решением дифференциального уравнения (1.8), должна удовлетворять начальному условию

Т (х, у, z, 0i=o = Т0 (х, у, z). (1.11)

Граничные условия

Теплопроводящее тело может находиться в различных условиях внешнего термического воздействия через его поверхность. Поэтому из всех решений дифференциального уравнения (1.8) нужно выбрать то, которое удовлетворяет данным условиям на поверхности S, т. е. данным конкретным граничным условиям. Используются следующие формы математического задания граничных условий.

1. Температура в каждой точке поверхности тела может изменяться с течением времени по конкретному заданному закону, т. е. температура поверхности тела будет представлять непрерывную (или разрывную) функцию координат и времени Ts (х, у, z, і). При этом искомая функция Т (х, у, z, t), являющаяся решением уравнения (1.8), должна удовлетворять граничному условию

Т (х, у, z, 0 Is = Ts (х, у, z, і). (1.12)

В простейших случаях температура на поверхности тела 7 (х, у, z, t) может быть периодической функцией времени или она может быть постоянной.

2. Известен поток тепла через поверхность тела как непрерывная (или разрывная) функция координат точек поверхности и времени qs (х, у, z, I). Тогда функция Т (х, у, г, I) должна удовлетворять граничному условию:

X grad Т (х, у, z, 0U = Qs (*. У> г> 0- (1 -13)

3. Заданы температура окружающей среды Та и закон теплообмена между окружающей средой и поверхностью тела, в качестве которого для простоты используется закон Ньютона. В соответствии с этим законом количество теплоты dQ, отдаваемое

за время dt элементом поверхности dS с температурой

Ts (х, у, z, t) в окружающую среду, определяется по формуле

dQ = k (Ts - Та) dS dt, (1.14)

где k - коэффициент теплоотдачи в кал/см2 - сек-°С. С другой стороны, в соответствии с формулой (1.6), это же количество тепла подводится к элементу поверхности изнутри и определяется равенством

dQ = - х (grad„ 7")s dS dt. (1.15)

Приравнивая (1.14) и (1.15), получим, что искомая функция Т (х, у, z, t) должна удовлетворять граничному условию

(gradnr)s = -±-(Ts-Та). (1.16)

Как отмечалось выше, при стыковании на монтаже двух секций конструкции условия для выполнения сварки являются наиболее тяжелыми. Выполнение сварки всего сечения одновременно- совершенно невозможно, а поэтому после наложения части швов …

Если на общие деформации сварных конструкций большое влияние оказывает последовательность наложения отдельных швов, то на местные деформации и деформации из плоскости свариваемых листов существенное влияние оказывает метод выполнения каждого шва. …

Как отмечалось выше, при сварке сложных составных сечений и конструкций характер возникающих деформаций зависит от порядка наложения швов. Поэтому одним из основных средств борьбы с деформациями при изготовлении сварных конструкций …

Как уже отмечалось во введении, дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка имеют бесчисленное множество решений, зависящих от двух произвольных функций. Чтобы определить эти произвольные функции, или, иначе говоря, выделить необходимое нам частное решение, нужно на искомую функцию наложить дополнительные условия. С аналогичным явлением читатель встречался уже при решении обыкновенных дифференциальных уравнений, когда выделение часшого решения из общего заключалось в процессе отыскания произвольных постоянных по заданным начальным условиям.

При рассмотрении задачи о колебаниях струны дополнительные условия могут быть двух видов: начальные и краевые (или граничные).

Начальные условия показывают, в каком состоянии находилась струна в момент начала колебания. Удобнее всего Считать, что струна начала колебаться в момент времени . Начальное положение точек струны задается условием

а начальная скорость

где - заданные функции.

Запись и означает, что функция взята при произвольном значении и при , т. е. аналогично . Такая форма записи постоянно применяется в дальнейшем; так, например, и т. д.

Условия (1.13) и (1.14) аналогичны начальным условиям в простейшей задаче динамики материальной точки. Там для определения закона движения точки, помимо дифференциального уравнения, нужно знать начальное положение точки и ее начальную скорость.

Иной характер имеют краевые условия. Они показывают, что происходит на концах струны во все время колебаний. В простейшем случае, когда концы струны закреплены (начало струны - в начале координат, а конец - в точке функция будет подчиняться условиям

С такими же точно условиями читатель встречался в курсе сопротивления материалов при изучении изгиба балки, лежащей на двух опорах, под действием статической нагрузки.

Физический смысл того факта, что задание начальных и краевых условий полностью определяет процесс, проще всего проследить для случая свободных колебаний струны.

Пусть, например, струну, закрепленную на концах, как-то оттянули, т. е. задали функцию - уравнение начальной формы струны, и отпустили без начальной скорости (это значит, что ) Ясно, что этим самым дальнейший характер колебаний будет полностью определен и мы найдем единственную функцию решая однородное уравнение при соответствующих условиях. Можно заставить струну колебаться и иначе, а именно придав точкам струны некоторую начальную скорость. Физически ясно, что и в этом случае дальнейший процесс колебаний будет вполне определен. Придание точкам струны начальной скорости может быть осуществлено при помощи удара по струне (как это имеет место при игре на рояле); первый способ возбуждения струны применяется при игре на щипковых инструментах (например, гитаре).

Сформулируем теперь окончательно математическую задачу, к которой приводит изучение свободных колебаний струны, закрепленной на обоих концах.

Требуется решить однородное линейное дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка с постоянными коэффициентами

Начальные условия отвечают на вопрос о том, каково было температурное поле в момент времени, принятый за начало отсчета. Они описываются выражением . Очень часто температура компонентов технологических подсистем в начальный момент времени может быть принята равной температуре окружающей среды, т. е. . В этом случае удобно, как отмечалось выше, вести расчет в так называемых избыточных температурах, условно считая, что , а затем по окончании расчета к результату прибавляя . Граничными называются условия взаимодействия поверхностей тел с окружающей средой или другими телами. Различают несколько разновидностей граничных условий. При граничных условиях первого рода (ГУ1) предполагают, что известен закон распределения температур на граничных поверхностях тела . Пусть, например, требуется определить температурное поле внутри какой-либо детали или инструмента. Сделать это экспериментальным путем, не разрушая объект измерения, довольно трудно, измерить же температуру на поверхности детали, инструмента или другого твердого тела экспериментальным путем значительно проще, это может быть выполнено без повреждения объекта. Если мы знаем ГУ1 в виде закона распределения температур на поверхностях тела, то, решая дифференциальное уравнение теплопроводности, можем рассчитать поле температур внутри детали, инструмента и т. д. Частным случаем ГУ1 является условие изотермичности поверхностей тела, т. е. .

Граничные условия второго рода (ГУ2) предусматривают, что известен закон распределения плотности тепловых потоков , следующих через граничные поверхности. В частном случае . Это означает, что рассматриваемая поверхность не обменивается теплотой с окружающей средой, т. е. является адиабатической. Выполняя тепловые расчеты, относящиеся к технологическим подсистемам, во многих случаях с достаточной для практики точностью можно пренебречь теплообменом той или иной поверхности (или ее участка) с окружающей средой, т. е. принять , что упрощает расчет.

Граничные условия третьего рода (ГУЗ) используют в том случае, когда теплообменом поверхности с окружающей средой пренебречь нельзя. В этом случае должны быть заданы температура среды, с которой соприкасается данное тело, и так называемый коэффициент теплоотдачи , Вт/(м 2 × °С), характеризующий теплообмен между средой и поверхностью.

Согласно закону Ньютона-Рихмана плотность теплового потока пропорциональна разности температур поверхности и окружающей ее среды , т.

е.

Формула (2.1) дает возможность определить количество теплоты , Вт/м 2 , которое в единицу времени с единицы поверхности отводится в окружающую среду. Как следует из закона Фурье, к поверхности тела подводится поток

Следовательно,

или . (2.2)

Выражение (2.2) представляет собой математическое описание граничных условий третьего рода.

Граничные условия четвертого рода (ГУ4) возникают тогда, когда рассматриваемое твердое тело находится в беззазорном контакте с другим твердым телом и между ними происходит теплообмен. Этот вариант граничных условий весьма часто встречается в теплофизике технологических процессов. Например, при обработке давлением детали штампа практически беззазорно соприкасаются с обрабатываемой заготовкой; при резании металла поверхности инструмента на определенных участках соприкасаются со стружкой и заготовкой. При граничных условиях четвертого рода, когда контакт между телами идеален, температура в любой точке поверхности соприкосновения как со стороны одного, так и со стороны другого тела одна и та же, т. е.

С целью упрощения расчетов часто вместо равенства температур в каждой точке контакта в качестве ГУ4 принимают равенство средних температур на поверхности контакта, т. е. вместо формулы (2.3) полагают

Граничные условия четвертого рода используют при решении балансовых задач, т. е. при анализе распределения теплоты между телами, находящимися в контакте. Распределив между соприкасающимися телами теплоту, образующуюся на контактной поверхности, и рассчитав плотность теплового потока в каждом из тел, далее пользуются граничными условиями второго рода.

Заканчивая рассмотрение вопроса о граничных условиях, отметим, что на разных участках реальных тел могут иметь место различные граничные условия. Рассмотрим, например, процесс плоского шлифования заготовки торцом чашечного круга (см. рис. 2.5). Если решена задача о распределении теплоты шлифования между кругом и заготовкой, то по отношению к заготовке имеем следующие граничные условия: ГУ3 - на поверхности соприкосновения с жидкостью; ГУ2 - на контактной поверхности с кругом, где известна плотность теплового потока, и на торце заготовки, который можно считать адиабатическим, если пренебречь его теплоотдачей в воздух; ГУ4 - на поверхности, где заготовка соприкасается с магнитным столом станка.

Рассматриваемой области соответственно.

Обычно дифференциальное уравнение имеет не одно решение, а целое их семейство. Начальные и граничные условия позволяют выбрать из него одно, соответствующее реальному физическому процессу или явлению. В теории обыкновенных дифференциальных уравнений доказана теорема существования и единственности решения задачи с начальным условием (т. н. задачи Коши). Для уравнений в частных производных получены некоторые теоремы существования и единственности решений для определенных классов начальных и краевых задач.

Терминология

Иногда к граничным относят и начальные условия в нестационарных задачах, таких как решение гиперболических или параболических уравнений.

Для стационарных задач существует разделение граничных условий на главные и естественные .

Главные условия обычно имеют вид , где - граница области .

Естественные условия содержат также и производную решения по нормали к границе.

Пример

Уравнение описывает движение тела в поле земного тяготения. Ему удовлетворяет любая квадратичная функция вида , где - произвольные числа. Для выделения конкретного закона движения необходимо указать начальную координату тела и его скорость, то есть начальные условия .

Корректность постановки граничных условий

Задачи математической физики описывают реальные физические процессы, а потому их постановка должна удовлетворять следующим естественным требованиям:

Решение должно существовать в каком-либо классе функций;
Решение должно быть единственным в каком-либо классе функций;
Решение должно непрерывно зависеть от данных (начальных и граничных условий, свободного члена, коэффициентов и т. д.).

Требование непрерывной зависимости решения обусловливается тем обстоятельством, что физические данные, как правило, определяются из эксперимента приближенно, и поэтому нужно быть уверенным в том, что решение задачи в рамках выбранной математической модели не будет существенно зависеть от погрешности измерений. Математически это требование можно записать, например, так (для независимости от свободного члена):

Пусть задано два дифференциальных уравнения: с одинаковыми дифференциальными операторами и одинаковыми граничными условиями, тогда их решения будут непрерывно зависеть от свободного члена, если:

решения соответствующих уравнений.

Множество функций, для которых выполняются перечисленные требования, называется классом корректности . Некорректную постановку граничных условий хорошо иллюстрирует пример Адамара .

См. также

Граничные условия 1 рода (Задача Дирихле) , en:Dirichlet boundary condition
Граничные условия 2 рода (Задача Неймана) , en:Neumann boundary condition
Граничные условия 3 рода (Задача Робена), en:Robin boundary condition
Условия идеального теплового контакта , en:Perfect thermal contact

Литература

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Начальные и граничные условия" в других словарях:

В теории дифференциальных уравнений, начальные и граничные условия дополнение к основному дифференциальному уравнению (обыкновенному или в частных производных), задающее его поведение в начальный момент времени или на границе рассматриваемой… … Википедия

Задача Неймана в дифференциальных уравнениях краевая задача с заданными граничными условиями для производной искомой функции на границе области так называемые граничные условия второго рода. По типу области задачи Неймана можно разделить на два … Википедия

граничные условия - формализованные физические условия на границе очага деформации или их математической модели, которые наряду с прочими позволяют получить единственное решение задач обработки давлением. Граничные условия разделяются на …

начальные условия - описание состояния тела перед деформацией. Обычно в начальный момент заданны эйлеровы координаты точек xi0 поверхности тела, напряжения, скорости, плотности, температуры в любой точке М тела. Дия области пространства,… … Энциклопедический словарь по металлургии

условия захвата - определенное соотношение при прокатке, связывающее угол захвата и коэффициент или угол трения, при которых обеспечивается первичный захват металла валками и заполнения очага деформации; Смотри также: Условия условия труда … Энциклопедический словарь по металлургии

Условия - : Смотри также: условия труда дифференциальные условия равновесия технические условия (ТУ) начальные условия … Энциклопедический словарь по металлургии

условия труда - совокупность санитарно гигиенических характеристик внешней среды (температура и влажность воздуха, запыленность, шум и т. п.), в которых выполняются технологические процессы; регламентированны в России трудовым… … Энциклопедический словарь по металлургии

Книги

Численные методы решения обратных задач математической физики , Самарский А.А.. В традиционных курсах по методам решения задач математической физики рассматриваются прямые задачи. При этом решение определяется из уравнений с частными производными, которые дополняются…

U| x=0 = g 1 (t), U| x=l = g 2 (t)

Эти условия физически означают, что на концах заданы режимы колебаний.

II. Граничные условия второго рода

U x | x=0 = g 1 (t), U x | x=l = g 2 (t)

Такие условия соответствуют тому, что на концах заданы силы.

III. Граничные условия третьего рода

(U x -σ 1 U)| x=0 = g 1 (t) , (U x –σ 2 U)| x=l = g 2 (t)

Эти условия соответствуют упругому закреплению концов.

Граничные условия (5), (6) и (7) называются однородными, если правые части g 1 (t) и g 2 (t) тождественно равны нулю при всех значениях t. Если хотя бы одна из функций в правых частях не равна нулю, то граничные условия называются неоднородными.

Аналогично формулируются граничные условия и в случае трех или четырех переменных при условии, что одна из этих переменных - время. Границей в этих случаях будет или замкнутая кривая Г, ограничивающая некоторую плоскую область, или замкнутая поверхность Ω, ограничивающая область в пространстве. Соответственно изменится и производная от функции, фигурирующая в граничных условиях второго и третьего рода. Это будет производная по нормали n к кривой Г на плоскости или к поверхности Ω в пространстве, причем, как правило, рассматривают нормаль, внешнюю по отношению к области(см.рис.5).

К примеру, граничное условие (однородное) первого рода на плоскости записывается в виде U| Γ =О, в пространствеU| Ω =0. Граничное условие второго рода на плоскости имеет вид ,а в пространстве . Конечно, физический смысл этих условий разный для различных задач.

При постановке начальных и граничных условий возникает задача об отыскании решения дифференциального уравнения, удолетворяющего заданным начальным и граничным (краевым) условиям. Для волнового уравнения (3) или (4), начальных условий U(x,0)=φ(x), U t (x,0)=ψ(x) и в случае граничных условий первого рода (5), задача называетсяпервой начально-краевой задачей для волнового уравнения . Если вместо граничных условий первого рода задавать условия второго рода (6) или третьего рода (7), то задача будет называться, соответственно, второй и третьей начально-краевой задачей . Если граничные условия на разных участках границы имеют различные типы, то такие начально-краевые задачи называют смешанными .

Рассмотрим две типичных электростатических задачи :

1) Найти потенциал электрического поля при неизвестном местоположении исходных зарядов, но заданном электрическом потенциале на границах области. (Например, задача о распределении потенциала электрического поля, создаваемого системой неподвижных проводников, помещенных в вакуум и подключенных к батареям. Здесь можно измерить потенциал каждого проводника, но задать распределение электрических зарядов на проводниках, зависящее от их формы, весьма сложно.)

2) Найти потенциал электрического поля, создаваемого заданным распределением в пространстве электрических зарядов .

Хорошо известно, что прямой метод вычисления потенциала электрического поля в этих задачах состоит в решении уравнения Лапласа (задача 1)

(1)

и уравнения Пуассона (задача 2)

. (2)

Уравнения (1), (2) относится к классу дифференциальных уравнений в частных производных эллиптического типа .

Далее мы будем рассматривать только частный случай эллиптических уравнений для поля  , зависящего от двух пространственных переменных. Совершенно очевидно, что для полного решения задачи уравнения (1), (2) необходимо дополнить граничными условиями. Различают три типа граничных условий:

1) граничные условия Дирихле (значения  задаются на некоторой замкнутой кривой в плоскости (х,у) и, возможно, на некоторых дополнительных кривых, расположенных внутри области (рис. 1));

2) граничные условия Неймана (на границе задается нормальная производная потенциала );

3) смешанная краевая задача (на границе задается линейная комбинация потенциала  и его нормальной производной).